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O casal de Belém

O casal de Belém

Belém convidou dezessete amigos para sua festa de aniversário. Cada um recebeu um número de 2 a 18, sendo 1 reservado para ela. Quando todos estavam dançando, ele percebeu que a soma dos números de cada casal era um quadrado perfeito.

Qual é o número do casal em Belém?

Solução

O número mais alto que pode ser alcançado adicionando aqueles que Belém distribuiu é 35 = 17 + 18, e o número mais baixo 3 = 1 + 2. Os quadrados que podem ser alcançados são, portanto: 4, 9, 16 e 25.

Com essas informações, fica claro que o casal de Belém pode ter 3, 8 ou 15. Para descobrir, devemos colocar os outros casais para saber se existe uma solução única ou se há várias situações.

Vamos começar eliminando os números mais fáceis. Como 18 é maior que 16, ele só pode dançar com 7, para adicionar 25. O mesmo acontece com 17, que tem que dançar com 8 e com 16, que dança com 9. Como 7, 8 e 9 já estão emparelhados , nós os suprimimos e escreveremos as outras possibilidades.

Os 15 podem ser com 1 e com 10. Os 14, com 2 e com 11. Os 13, com 3 e com 12. Os 12, com 13 e com 4. Os 11, com 5 e com 14. Os 10, com 6 e 15. 15. 6, 10 e 3. 3. 5, 11 e 4. 4. 4, 12 e 5. 3, 13, 6 e 1. E 2 só podem dançar com 14. Com essas informações, montamos a tabela a seguir que nos ajudará a descartar casos:

ConvidadoCasal possível
151, 10
142, 11
133, 12
124, 13
115, 14
106, 15
610, 3
511, 4
412, 5
313, 6, 1
214
115, 8, 3

Como 2 só pode dançar com 14, ele é pego. O 11 é forçado a dançar com o 5. Por esse motivo, o 4 dança obrigatória com o 12. Por sua vez, isso força o 13 a dançar com o 3.

Neste ponto, 6 tem que dançar com 10 e, portanto, 15 dançam com o 1 que Belém está vestindo.