Detalhadamente

Adicionando capicúas

Adicionando capicúas

Juan queria adicionar todos os números de quatro dígitos da capicúa, mas esqueceu de adicionar um deles.

Que número você esqueceu se a soma obtida foi 490776?

Solução

Vamos tentar encontrar um atalho para adicionar todas as capicúas que Juan deveria ter adicionado e depois subtrairemos a quantia que ele obteve. Isso determinará qual parou de adicionar.

Como devemos escrever uma sobre a outra todas as capicúas de quatro dígitos, a primeira coisa que devemos considerar é um sistema pelo qual garantimos que todas elas tenham e depois contamos quantas figuras de cada classe usamos.

O primeiro e o último número de cada capicúa (o de unidades e o de milhares de unidades) devem ser iguais e não podem ser zero, pois o número seria considerado com apenas três algarismos. Portanto, para a primeira figura, temos nove possibilidades. O segundo e o terceiro, que também são iguais, podem valer qualquer número, incluindo zero, então temos dez possibilidades.

Se você olhar, então, quando colocá-las em uma coluna (que será muito alta), cada uma das nove figuras das unidades aparecerá repetida dez vezes (porque, se definirmos uma delas, só podemos escrever dez capicúas diferentes); a soma dessa coluna será (1 + 2 +… + 9) * 10 = 10 * (1 + 9) * 9/2 = 450. Coloco um 0 nas unidades da soma e pego 45.

Na coluna das dezenas, no entanto, dez figuras diferentes aparecerão, mas repetidas cada uma nove vezes. A soma será 9 * (0 + 1 +… + 9) = 9 * (9 + 0) * 10/2 = 405. A essa figura, devemos adicionar os 45 que usamos, o que nos dá um total de 450. novamente, colocamos um zero e obtemos 45.

Na coluna das centenas, a soma será exatamente a mesma das dezenas, que por isso são capicúas e darão novamente 405. Como levamos 45, voltamos a dar 450, novamente outro 0 e tomamos 45.

Na última coluna, a das mil unidades, a soma é idêntica à das unidades, 450. Se somarmos as 45 mil unidades restantes das centenas, temos 495, que é o número definitivo de unidades de mil que temos.

No total, a soma deve dar 495000. Como Juan calculou 490776, vemos que a diferença é exatamente 4224, como poderia ser de outra forma, é capicúa e é o que faltava.